大物上笔记

质点运动学

位置矢量

在选定参考系之后，我们就可以确定质点的位置了

为了方便描述质点的位置，引入位置矢量 $\vec{r}$

在参考系中选取固定点 $O$，若该质点在点 $P$ 的位置，那么该质点的位置矢量 $\vec{r}=\vec{op}$

位移

位移是指质点在一段时间内移动，我们用矢量来表示质点位置，这样可以更好地表示出位移

不难发现，位置矢量的增量就是位移，即

$$\mathrm{d}\vec{r}=\vec{r}_2-\vec{r}_1$$

此时注意区分，$\vec{r},\mathrm{d}\vec{r},|\vec{r}|,|\mathrm{d}\vec{r}|$

速度

用速度来表示位移变化的快慢，定义为

$$\vec{v}=\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}$$

如果我们让 $\mathrm{d}t\to 0$，该速度即为瞬时速度

同样的，速率定义为路程和时间的比值

$$v=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}$$

瞬时速率的大小和瞬时速度的大小相等

加速度

用加速度来表示物体速度变化的快慢

$$\vec{a}=\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}$$

以上各量在直角坐标系中的求导是十分好求的，因为矢量都是常矢量，只要对系数求导即可，但是在自然坐标系下，需要考虑矢量求导

实际问题举例

物体的运动不一定是规律运动，此时为了解决问题，我们引入微积分，本质上是物体在一定时间内的运动所累积的结果

若已知运动方程，则可以直接求导得到速度和加速度

若已知速度和加速度，则可以定积分求运动方程

自然坐标系

自然坐标系采用法向和切向两个方向来描述物体的运动

定义法向单位矢量 $\vec{e}_n$ 和切向单位矢量 $\vec{e}_t$

在这样的坐标系中，速度始终沿着切向

$$\vec{v}=v\vec{e}_t$$

求加速度的时候，我们不能直接求导了，因为单位矢量是关于时间变化的，我们要对矢量求导

$$\vec{a}=\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}(v\vec{e}_t)}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}{v}}{\mathrm{d}t}\vec{e}_t+\frac{\mathrm{d}\vec{e}_t}{\mathrm{d}t}$$

现在主要考虑后面怎么求导

当 $\mathrm{d}t\to 0$ 时，质点的运动可以类似转化为圆周运动，此时切向矢量的变化方向是沿着法向矢量的，只需要考虑求出大小，化曲为直即可，用扇形的圆弧拟合成直线，有

$$\frac{\mathrm{d}\vec{e}_t}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}\vec{e}_n$$

这里变化的方向 $\theta$ 可以转化为圆心角

$$\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}\vec{e}_n=\frac{\mathrm{d}s}{\rho \mathrm{d}t}\vec{e}_n=\frac{v}{\rho}\vec{e}_n$$

代入原式子可得

$$\vec{a}=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\vec{e}_t+\frac{v^2}{\rho}\vec{e}_n$$

于是得到，切向加速度大小为 $\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}$，法向加速度大小 $\frac{v^2}{\rho}$

切向加速度既可以直接对速率求导，也可以让加速度在切向投影

$$\vec{a}_t=\vec{a}\cdot \vec{e}_t=\frac{\vec{a}\cdot \vec{v}}{|\vec{v}|}$$

法向加速度可以用加速度和切向加速度反向求

此时也可以通过法向加速度求曲率半径

圆周运动

在高中物理提到过圆周运动的规律，和我们在自然坐标系下推导的过程差不多

$$\begin{cases} \vec{a}_t=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\\ \vec{a}_n=\frac{v^2}{R}=\omega^2 R \end{cases}$$

速度都应该具有方向，同样的，角速度也有方向

规定角速度方向垂直于圆面，具体方向由右手螺旋定则确认，或者由下式的叉积得到

$$\vec{v}=\vec{\omega} \times \vec{r}$$

相对运动

当选取不同的参考系时，所观察到的运动也是不同的，因此运动是具有相对性的。

所谓的运动不同，是指部分状态不同，但仍有部分状态相同

比如速度是不同的，位置矢量是不同的

但是位移是相同的，加速度是相同的

动量守恒定律

动量

将质量和速度的乘积定义为动量

$$\vec{p}=m\vec{v}$$

在质点系中，如果没有外力作用，那么该质点系的动量是守恒的，即

$$\sum p_i=\sum m_iv_i=C$$

力

物体之间具有相互作用，我们用单位时间内转移到动量来表示这种作用的强弱，称之为力

$$F=\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t}$$

动量定理

对于一个质点来讲，质点动量对时间的变化率等于作用于该点的力的矢量和

$$F=\sum F_i=\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t}$$

对于质点系，由于内部的力之间互相加和为0，所以对于整个质点系来讲，只需要考虑外力即可

若合外力为0，则质点动量守恒

冲量

冲量是力在时间上累计的结果

$$I=\int_{t_1}^{t_2}F\mathrm{d}t=p_2-p_1$$

所以可以用冲量来表示动量定理

变质量系统

主要涉及类似火箭起飞等质量随着时间变化的情况，设 $u$ 为相对速度，根据动量定理，有

$$F\mathrm{d}t=(m+\mathrm{d}m)(v+\mathrm{d}v)-mv-(v+u)\mathrm{d}m$$

整理这个式子可以得到

$$F+u\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t}$$

左边式子表示系统因为质量变化而产生的力

质心运动定理

质心运动定理是动量守恒定理的推广，它描述的是多个质点系统的运动，将整个质点系统等价为一个质量为 $M$ 的质点，其位置矢量为 $\vec{r}_c$，速度矢量为 $\vec{v}_c$，则

$$\vec{r}_c=\frac{\sum m_i\vec{r}_i}{M}\\ \vec{v}_c=\frac{\sum m_i\vec{v}_i}{M}$$

从数学的意义上理解，就是按照质量加权平均的方式，将多个质点的位置和速度合并为一个质点的位置和速度

根据上述式子也不难发现

$$F=\sum m_i\vec{a}_i=M\vec{a}_c$$

这个式子就是质心运动定理

非惯性系与惯性力

虽然在高中的时候，我们认为惯性不存在力的作用，但是在实际中，为了更好的描述非惯性系中物体的运动，我们需要引入惯性力的概念

例如在光滑木板上放一个小球，我们以加速度 $\vec{a}$ 移动木板，以地面为参考系，小球是静止的，但以木板为参考系，小球是在运动的，加速度为 $-\vec{a}$，好像小球收到了一个力的作用，大小为 $ma$，这个力就是惯性力，注意惯性力在实际中并不存在，它只是为了描述非惯性系中物体的运动而引入的，是假象力

能量守恒定律

能量守恒与动能定理

力做功会导致物体能量的变化，但能量的总量是不变的，我们称之为能量守恒定律，任何变化过程都满足能量守恒定律，但满足能量守恒定律的过程不一定能实现，比如热量传递的不可逆性

力对于时间的积累改变了物体的动量，而力对空间的积累改变了物体的动能

我们通过动能定理来推导动能微元与什么有关系

$$E_k=\frac{1}{2}mv^2\\ \begin{aligned} \frac{\mathrm{d}E_k}{\mathrm{d}t}&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\frac{1}{2}mv^2)\\ &=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\frac{1}{2}m\vec{v}\cdot\vec{v})\\ &=m\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}\cdot\frac{\vec{r}}{\mathrm{d}t} \end{aligned}\\ \mathrm{d}E_k=F\cdot\mathrm{d}\vec{r}$$

于是得到，质点动能的改变是和功有关系的，本质上是能量的转化

注意到速率的大小和参考系的选择有关系，所以动能是一个相对的量

质点系动能定理

由于质点系既存在内力又存在外力，所以要分开考虑，注意一对内力所做的功不一定会互相抵消，有

$$\Delta E_k=A_{外}+A_{内}$$

虽然一对内力做的功不一定会抵消，但是一对内力所做的功的大小是一定的，和参考系没有关系，由于这个性质，可以得到相对静止或运动方向和力垂直的一对物体之间内力是不做功的

功率

为了描述做功的快慢，引入功率

$$p=\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}t}=F\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}=\vec{F}\cdot \vec{v}$$

动力机械的最大输出功率称为额定功率，额定功率的值一般是定值，当功率不变时，速度越小，牵引力越大，反之亦然，汽车爬坡速度减慢是为了提高牵引力

保守力和势能

有些力做的功和过程没有关系，只和初末位置有关系，这种力称之为保守力

几种常见的保守力，重力，平方反比有心力，弹簧弹力

由于保守力做功只和初末位置有关系，所以可以定义势能函数，将保守力做功用势能函数的变化表示出来，保守力做功，那么势能会减少

保守力做功和势能变化有关系，所以只要知道保守力可以得到势能，知道势能也可以得到保守力，保守力是势能梯度的负值

机械能

我们将动能和势能统称为机械能，一个系统机械能守恒当且仅当系统只有保守内力做功

这个是十分好理解的，保守力的做功只会引起系统势能与动能之间的相互转化

初末状态的机械能相同，但是过程未知，这不能称之为守恒，守恒的定义是过程中机械能一直没有发生变化

角动量守恒定律

角动量

物体在做圆周运动时，由开普勒第三定律可以知道，每秒内行星和恒星连线扫过的面积是固定不变的，称之为掠面速率，显然这个速率可以表示为

$$\frac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}t}=\frac{1}{2}|\vec{r}\times \vec{v}|$$

所以在圆周运动的过程中，存在一个量恒定不变，称之为角动量 $\vec{L}$

$$\vec{L}=\vec{r}\times \vec{p}=\vec{r}\times m\vec{v}$$

质点对轴的角动量表示为 $\vec{L}$ 对过参考点的某个轴投影，由投影可以知道，质点对轴的角动量和参考点在轴上的位置是无关的

质点系的角动量只需要把单个质点的角动量相加求和即可

角动量守恒

角动量守恒定律是一个非常重要的定律，它是描述物体旋转的基础，它的推导过程是

$$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}\vec{L}}{\mathrm{d}t}&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\vec{r}\times m\vec{v})\\ &=\vec{r}\times m\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}+m\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}\times \vec{v}\\ &=\vec{r}\times m\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}\vec{t}} \end{aligned}$$

对于两个质点来说

$$\frac{\mathrm{d}\vec{L}_1}{\mathrm{d}t}+\frac{\mathrm{d}\vec{L}_2}{\mathrm{d}t}=0$$

这个结论推广到全局也是成立的，称为角动量守恒

力矩

为了衡量角动量的变化，引入力矩

$$M=\frac{\mathrm{d}\vec{L}}{\mathrm{d}t}=\vec{r}\times \vec{F}$$

这与角动量的形式相似，于是角动量又称为动量矩

角动量定理

角动量定理是角动量守恒的推广，它描述的是角动量的变化和力矩的关系

$$M_{合}=\frac{\mathrm{d}\vec{L}}{\mathrm{d}t}$$

即角动量的变化由力矩决定

刚体力学基础

刚体

刚体是指在外力作用下形状和大小都不变化的物体，换言之，刚体中任意两点间的距离不会发生变化

刚体的运动

刚体的运动可以分为平动和转动两种形式

平动

平动是指刚体在直线上运动，平动的过程中，各点的运动状态完全相同，刚体的形状和大小不会发生变化，所以平动的过程中，刚体的质心的速度是恒定的

于是可以用质心来代替整个刚体，这样就可以用质点的运动来描述刚体的平动

转动

刚体上所有点都绕着某个轴转动，这个轴称之为转轴，称为定轴转动

刚体上一点是不动点，此时称为定点转动

一般运动

刚体的一般运动可以分解为平动和转动的叠加

这种分解并不唯一，和选择的转轴位置有关系，但是角位移和转轴的位置无关，所以角量也和转轴位置无关

刚体定轴转动的描述

定轴转动时，刚体中每一质元都做平面圆周运动

虽然各个质元做圆周运动的线量可能不同，但角量都相同

可以自然的定义出角速度和角加速度

$$\omega=\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t},\alpha=\frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}t}$$

刚体定轴转动基本规律

转动惯量

设刚体绕 $z$ 轴以 $\omega$ 的速度转动，那么单个质元的角动量为

$$L_{zi}=\Delta m_ir_i^2\omega$$

对所有质元求和得到刚体的角动量

$$L_z=\sum_{i=1}^n\Delta m_ir_i^2\omega$$

注意到 $\omega$ 可以提出来，中间剩下的那个是一个定值

我们称之为转动惯量 $J_z$

类似于质量衡量直线运动的惯性，转动惯量衡量转动的惯性

$$p=mv\\ L_z=J_z\omega$$

常见的刚体转动惯量

细棒，轴过中心 $\frac{1}{12}ml^2$

细棒，轴过端点 $\frac{1}{3}ml^2$

薄圆环，轴与环面垂直 $mR^2$

细圆环，轴沿直径 $\frac{1}{2}mR^2$

空心圆盘，$\frac{1}{2}m(R^2+r^2)$

圆盘，$\frac{1}{2}mR^2$

球壳或球体 $\frac{2}{3}mR^2$

平行轴定理

$$J=J_c+md^2$$

其中 $J_c$ 是刚体绕转轴 $OA$ 的转动惯量，$d$ 是 $OA$ 到 $OB$ 的距离

刚体定轴转动定理

设刚体以角速度 $\omega$ 绕 $z$ 轴转动，那么刚体的角动量定理为

$$M_z=\frac{\mathrm{d}L_z}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}J_z\omega}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}t}J_z=\alpha J_z$$

刚体转动的功能关系

定义转动动能为

$$E_k=\frac{1}{2}\sum \Delta m_iv_i^2=\frac{1}{2}J_z\omega^2$$

有转动动能定理

$$A=A_{外}=\int M_z\mathrm{d}\varphi=\frac{1}{2}J_z\omega^2-\frac{1}{2}J_z\omega_0^2$$

流体力学

流体静力学

压强

压强定义为单位面积所受到的压力

$$\bar{p}=\frac{\Delta{F}}{\Delta{S}}$$

当面积趋于 $0$ 的时候就是某点的压强

$$p=\lim_{\Delta S\to 0}\frac{\Delta F}{\Delta S}$$

静止流体中的压强只和深度有关系

$$p=p_0+\rho gh$$

阿基米德原理

$$F_{浮}=G_{排}=\rho _{水}gV_{排}$$

表面张力

任意两种不相溶的液体或者气体之间都存在表面张力，它使得液体有收缩的趋势

$$F=\sigma \Delta l$$

其中 $\sigma$ 指的是表面张力系数

理想流体的流动

理想流体

不可压缩的且无黏性的流体

连续性原理

理想流体流动时通过流管中任意横截面的流量都相同

伯努利方程

理想流体做定常流动时候，流线上任意一点有

$$p+\frac{1}{2}\rho v^2+\rho gh=C$$

相对论

狭义相对论时空变换

伽利略变换

伽利略变换是经典力学的时空变化关系，比较直观易懂，但是并不适用于全部情况

我们用一个四维坐标来表示某个点，这个坐标是一个向量，分别是 $x,y,z,t$，其中 $t$ 是时间坐标

假设现在有两个坐标系 $S$ 和 $S'$ ，$S'$ 相对于 $S$ 以 $u$ 的速度沿 $x$ 轴运动，注意是 $S'$ 相对于 $S$ 以 $u$ 的速度

那么有伽利略变换

$$\begin{cases} x'=x-ut\\ y'=y\\ z'=z\\ t'=t \end{cases}$$

在这种变换中，时间间隔和空间间隔都是不变的，这正是牛顿的绝对时空观

同时对时间求导后发现

$$v'=v-u,a'=a$$

也就是说，速度是相对量，但是加速度是绝对量

力学相对性原理

所有的惯性系对力学规律都是等价的，不可能通过一个惯性系内部的力学试验来确定该惯性系的速度，在所有惯性系中，力学定律具有相同的形式

两个基本假设

伽利略基本变换在大部分情况下看来都没有什么问题，但是对于电磁波应用伽利略变换却出现了问题

大量实验证明，尤其是迈克耳孙-莫雷实验没有找到以太存在的证据，波速在任意参考系下都为 $c$，这表明伽利略速度变换必须得到修改

爱因斯坦提出了两个基本假设

• 相对性原理：物理定律的表达式在所有惯性系中都是相同的，即所有惯性系对于物理规律都是等价的
• 光速不变原理：在所有惯性系中，光在真空中沿个方向传播的速度都等于恒定值 $c$ ，与光源的运动状态无关

洛伦兹变换

重新定义线性变换形式

$$\begin{cases} x'=a_1x+b_1t\\ y'=y\\ z'=z\\ t'=a_2x+b_2t\\ \end{cases}$$

根据两个基本假设，可以推出洛伦兹变换

$$\begin{cases} x'=\gamma (x-ut)\\ y'=y\\ z'=z\\ t=\gamma (t'-\beta\frac{x'}{c}) \end{cases}\\ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}},\beta=\frac{u}{c}$$

洛伦兹变换说明时间坐标和空间坐标是相互联系的

根据洛伦兹变换，不难发现对于低速运动的物体，它几乎就是伽利略变换，这也就能解释为什么伽利略变换能够适用于大多数情况了

从这个方程来看，光速是运动速度的极限

狭义相对论速度变换

$$\begin{cases} \mathrm{d}{x'}=\gamma (\mathrm{d}{x}-u\mathrm{d}{t})\\ \mathrm{d}{y'}=\mathrm{d}{y}\\ \mathrm{d}{z'}=\mathrm{d}{z}\\ \mathrm{d}{t'}=\gamma (\mathrm{d}{t}-\beta\frac{\mathrm{d}{x'}}{c}) \end{cases}\\ \begin{cases} v_{x'}=\frac{v_x-u}{1-(\frac{uv_x}{c^2})}\\ v_{y'}=\frac{v_y\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}{1-(\frac{uv_x}{c^2})}\\ v_{z'}=\frac{v_z\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}{1-(\frac{uv_x}{c^2})}\\ \end{cases}$$

狭义相对论时空观

同时的相对性

假设在 $S'$ 系中，有两个事件 $A$ 和 $B$ 同时在 $t'$ 发生，那么根据洛伦兹变换，有

$$t_A=\lambda (t'+\frac{u}{c^2}x'_A)\\ t_B=\lambda (t'+\frac{u}{c^2}x'_B)\\ \Delta t=t_B-t_A=\lambda (\frac{u}{c^2}(x'_B-x'_A))$$

可以发现，在 $S'$ 中同时发生的两件事不一定在 $S$ 中同时发生

时间延缓

在 $S'$ 系中两点同地发生的两件事，在 $S$ 系中看上去会发生什么

$$\Delta t=\lambda \Delta t'$$

由于 $\lambda > 1$ 所以在 $S$ 系中看起来时间间隔会放大，称为时间延缓

长度收缩

$$x'_A=\lambda (x_A-ut_A)\\ x'_B=\lambda (x_B-ut_B)\\ \Delta x=\frac{\Delta x'}{\lambda}$$

由于 $\lambda > 1$ 所以在 $S$ 系中看起来长度会变短，称为长度收缩

相对论动力学

相对论动量

$$F=\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\frac{mv}{\sqrt{1-v^2/c^2}})$$

相对论能量

物体的能量为

$$\lambda mc^2$$

物体的静能为

$$mc^2$$

物体的动能为

$$E_k=\lambda mc^2-mc^2$$