电工技术学习笔记

电路基础

参考方向

在计算出具体的值之前，我们并不能知道具体的电流电压方向，为了方便计算，我们人为规定一个方向，称之为参考方向。

电流

电流定义为单位时间内通过导体横截面的电荷量，有

$$i=\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}$$

在工程上，一般规定正电荷的移动方向为电流的实际方向

在计算时，我们一般在导线旁标注电流方向，作为电流的参考方向

直流电流一般用大写字母 $I$ 表示，时变电流用 $i(t)$ 表示

注意电流的参考方向不一定是真实的流动方向

电压

若正电荷 $\mathrm{d}q$ 从电路中的 $a$ 点移动到 $b$ 点时，能量变化为 $\mathrm{d}w$，则电路中 $a,b$ 两点的电压定义为

$$v=\frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}q}$$

类似于电流的参考方向，电压也有参考方向，我们称之为参考极性

和电流的参考方向一样，电压的参考方向也是可以任意选取的

关联参考方向

虽然电压和电流的参考方向都可以任取，但当同时考虑电流和电压时，我们需要考虑他们的方向

当电流的方向是从电压的正极流向负极时，我们称这两个参考方向相互关联

功率

功率的定义为做功的速率

$$p=\frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}q}\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}=vi$$

功率分为吸收功率和放出功率，一般来讲，元器件是需要消耗功率的，所以当电压和电流为关联参考方向的时候，求出的功率是吸收功率，否则为放出功率

电阻

电阻的欧姆定律形式为

$$v=ir$$

另一种形式为

$$i=Gv$$

其中 $G$ 是电导值，单位为西门子

电阻在任何时候都不会放出功率，即只能吸收能量，称之为无源原件

电源

分为电流源和电压源

电压源的特性是，元件两端电压恒定，与流过的电流无关

电流源的特性是，流过元件的电流恒定，与元件两端电压无关

短路和开路

短路是指电压恒为0，开路是指电流恒为0

开路和短路可以通过理想开关来实现

基尔霍夫定律

基尔霍夫电流定律KCL

在任何时刻，电路任意节点上所有支路的电流和为0

$$\sum_{k=1}^n i_k=0$$

本质上是一张流网络上流入和流出的流量相等

基尔霍夫电压定律KVL

沿着电路中任意回路上所有支路的电压代数和为0

$$\sum_{k=1}^{n}v_k=0$$

本质上电压是电位差，电位相等即可

线性电路分析

电源的等效变换

理想电流源可以并联提供电流，理想电压源可以串联提供电压

注意：

由于电流源无论电压如何，提供的电流均不变，所以当电流源与电压源串联时，电压源是无效元件

同理电压源与电流源并联时，电流源是无效元件，称之为无效伴随网络

以上均为理想情况下，但实际情况电源也会有内阻

此时根据二端网络的 $v-i$ 关系进行等效即可

即 $v=iR+V_s=iR+I_sR$

有 $V_s=I_sR$

这也是我们之后进行各种等效的原理

叠加定理

电路具有齐次性和叠加性，这就是叠加定理

即当电路中含有多个源时，这些源对于电路的作用可以拆分为单个源独立作用后线性相加的结果

由电源的齐次性可以知道，如果我们要求的量不好求，可以先假定一个值，去推另一个值，最后根据等比例变换求出当前值

当运用叠加性时，需要将其它各源置零，置零的方式是电流源开路，电压源短路，原理在于理想电流源内阻正无穷，理想电压源内阻为 $0$

戴维南定理和诺顿定理

戴维南定理：任意二端网络可以等效为一个电压源和一个定值电阻串联

诺顿定理：任意二端网络可以等效为一个电流源和一个定值电阻并联

求解戴维南等效电路：

可以先求开路电压，再求内部等效电阻，等效电阻既可以直接串并联得到，也可以先求出短路电流，再用欧姆定律，后者称之为开短路法

最大功率传输，当外接电阻和等效电阻一样大时，有最大功率 $\frac{V^2}{4R}$

简单电路分析

支路电流法，对于所有的支路列KVL，对于所有的节点列KCL，对于所有元件列元件特性。

单回路电路，利用KVL可以求出电流

双节点电路，利用KCL可以求出电压

节点分析法，以每个节点的电位作为参考求解

星形与三角形电路的等效变换

星形电路 $R_1,R_2,R_3$ 和三角形电路 $R_{12},R_{23},R_{31}$ 存在等效关系，等效公式如下

$$\begin{cases} R_1=\frac{R_{31}R_{12}}{R_{12}+R_{23}+R_{31}}\\ R_2=\frac{R_{12}R_{23}}{R_{12}+R_{23}+R{31}}\\ R_3=\frac{R_{23}R_{31}}{R_{12}+R_{23}+R{31}}\\ \end{cases}\\ \begin{cases} R_{12}=\frac{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}{R_3}\\ R_{23}=\frac{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}{R_1}\\ R_{31}=\frac{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}{R_2}\\ \end{cases}$$

动态元件

电容

表示电路中以电场形式存储能量的效应，定义式为

$$C=\frac{q}{v}$$

当电容极板上的电荷 $q$ 发生变化时，形成电流 $i$，由电容和电流的定义式可得，

$$i=\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}=C\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}$$

移项后积分可得，

$$v=\frac{1}{C}\int_{-\infty}^{t}i\mathrm{d}t$$

注意这个关系是在关联参考方向下得到的，否则需要加入负号

只有当电路中电压变化时，才会有电流产生，所以电容是一个动态元件，当电压为常数时，电流恒定

在关联参考方向下，电容的吸收功率为

$$p=vi=Cv\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}$$

电容储存的能量为

$$w(t)=\int_{-\infty}^{t}Cv\frac{\mathrm{d}v(\tau)}{\mathrm{d}\tau}\mathrm{d}\tau=\int_{-\infty}^{t}Cv{\mathrm{d}v(\tau)}=\frac{1}{2}Cv^2$$

等效电容，和电阻一样的串并联规律

电感

表示电路中以磁场的形式存储能量的效应，定义为

$$L=\frac{\psi}{i}$$

当磁链发生变化时，根据法拉第定理和电感定义

$$v=\frac{\mathrm{d}\psi}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}(Li)}{\mathrm{d}t}=L\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}$$

移项后积分可得，

$$i=\frac{1}{L}\int_{-\infty}^{t}v\mathrm{d}t$$

只有变化的电流才能产生电压，若电流恒定不变，就没有电压

电感的吸收功率为

$$p=vi=Li\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}$$

电感吸收的能量为

$$w(t)=\int_{-\infty}^{t}Li\frac{\mathrm{d}\tau}{\mathrm{d}\tau}\mathrm{d}\tau=\int_{-\infty}^{t}Li\mathrm{d}{\tau}=\frac{1}{2}Li^2$$

等效电感的串并联规律和等效电阻一样

动态电路

定义

至少包含一个动态元件的电路称为动态电路

处理方式

使用KCL和KVL解方程

不过由于电容和电感与电流和电压之间是微分关系，所以我们要解的方程本质上是微分方程

对于只含有一个动态元件的电路，其微分方程是一阶的，我们称该电路为一阶动态电路

稳定状态

动态电路在经过足够长时间的变化后，最终会呈现周期变化，此时称其进入了稳定状态

应用

$$v=L\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}\\ i=C\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}$$

这两个关系可以看出，在动态电路中，电流和电压是存在微分方程关系的，只要根据基尔霍夫定律列一下方程，再求解即可

三要素法

对于一阶动态电路，没有必要使用微分方程求解，它的一般规律是，可以用三个要素来反应电路中的变化

时间常数

• 电容 $\tau=RC$

• 电感 $\tau=\frac{R}{L}$

初始状态 $v(0^+)$

末状态 $v(\infty)$

有 $v(t)=(v(0^+)-v(\infty))e^{-\frac{t}{\tau}}+v(\infty)$

交流电

正弦信号

电路激励为正弦激励时产生的信号，比如正弦电流

$$i(t)=I_m\sin(\omega t+\theta)$$

其中 $I_m$ 为电流的幅值，也叫最大值，$\omega$ 为角频率，$\theta$ 为相位

一般来讲，电路中的元件的角频率都是相等的，只需要考虑相位和幅值，定义相位差为 $\Delta\theta$，如果 $\Delta\theta=0$，则称为同相信号，如果 $\Delta\theta=\pi$，则称为反相信号，如果 $\Delta\theta=\pi/2$，则称为信号正交，如果 $\Delta\theta>0$，则称为超前信号，否则是滞后信号

相量

由于正弦信号的加减需要使用三角函数变换，十分麻烦，所以我们可以使用相量来表示正弦信号，这样会方便很多

$$e^{j\theta}=\cos\theta+j\sin\theta$$

其中 $j=\sqrt{-1}$，由欧拉公式可以将信号用复数表示

定义最大值相量 $\dot{I}_m=I_me^{j\theta}$

同样的，定义有效值相量 $\dot{I}=Ie^{j\theta}$

注意这里这样定义的原因是，角频率一般不变，所以可以单独拿出来

这样定义之后，有如下式子成立

$$i(t)=Im(\dot{I}_m e^{j\omega t})$$

为了方便书写，将最大值相量记为 $I_m\angle\theta$

显然相量可以进行四则运算

下面考虑相量的微分运算和积分运算

$$\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}=Im(I_mj\omega\dot{I}_me^{j\omega t})$$

于是微分和积分就相当于给相量乘上某一个值

相量表示约束关系

上面提到了相量可以做加减乘除以及微分积分运算，那么我们可以用相量来表示电路中的约束关系

基尔霍夫定律是显然的，因为只涉及到加法，这里如果把所有相量用图的形式表示出来，那么一定会形成一个闭环

电阻约束

$$\dot{V}=R\dot{I}\\ \dot{I}=G\dot{V}$$

电感约束

$$\dot{V}=L\frac{\mathrm{d}\dot{I}}{\mathrm{d}t}=Lj\omega\dot{I}$$

其中 $j\omega L$ 称为阻抗，它的倒数称为感纳

电容约束

$$\dot{I}=C\frac{\mathrm{d}\dot{V}}{\mathrm{d}t}=Cj\omega\dot{V}$$

其中 $j\omega C$ 称为感纳，它的倒数 称为阻抗

正弦稳态功率

$$p(t)=P(1-\cos 2\omega t)+Q\sin (2\omega t)$$

其中 P 称为有功功率，Q 称为视在功率

$$S=P+jQ=\dot{V}\dot{I}^*\\ P=VI\cos\theta\\ Q=VI\sin\theta$$

复功率 $S$ 的模 $|S|$ 被称为视在功率，$\cos \theta$ 被称为功率因数

三相电路

三相电源

三个正弦电压信号，相位差为 $120^\circ$，幅值相等，频率相等

三相电源 Y 形

$$\begin{cases} \dot{V}_{ab}=\dot{V}_a-\dot{V}_b\\ \dot{V}_{bc}=\dot{V}_b-\dot{V}_c\\ \dot{V}_{ca}=\dot{V}_c-\dot{V}_a \end{cases}$$

相电压和线电压之间的关系

线电压是相电压的 $\sqrt{3}$ 倍

三相电源三角形

线电压等于相电压

三相负载

Y形负载，线电流等于相电流

三角形负载，线电压等于相电压

线电流是相电流的 $\sqrt{3}$ 倍

三相功率

平均功率

$$P=3V_{\phi}I_{\phi}\cos\theta\\ P=\sqrt{3}V_{l}I_{l}\cos\theta$$

各相瞬时功率的和为平均功率

变压器

理想变压器

没有漏磁通

可以忽略绕组导线电阻损耗和铁芯损耗

铁心的磁导率非常高，可以认为其磁阻为零

端口电压与线圈匝数成正比

$$\frac{v_1}{N_1}=\frac{v_2}{N_2}$$

端口电流与线圈匝数成反比

$$\frac{i_1}{N_2}=\frac{i_2}{N_1}$$

传递过程中功率不变，理想电压器既不产生能量也不吸收能量

理想变压器变比定义为 $a=\frac{N_1}{N_2}$

$$v_1=a v_2\\ i_1=\frac{1}{a}i_2$$

注意考虑同名端和电流参考方向的影响

理想变压器的阻抗变换

$Z_1=a^2Z_2$

实际变压器

电压调整率

$$\Delta V=\frac{V_{20}-V_2}{V_{20}}\times 100\%$$

一般不超过 $5\%$

效率

$$P=\frac{P_2}{P_2+\Delta P}\times 100\%$$

额定值

一次和二次额定电压的有效值 $V_{1N}/V_{2N}$

一次加额定电压 $V_{1N}$ 时，二次空载电压为 $V_{2N}$

额定容量为输出的视在功率 $S_N$

单相变压器

$$S_N=V_{2N}I_{2N}$$

三相变压器

$$S_N=\sqrt{3}V_{2N}I_{2N}$$

三相异步电动机

设 $p$ 为合成磁场的磁极对数，电流频率为 $f_1$，磁场每分钟转数为 $n_1$，有

$$n_1=\frac{60f_1}{p_1}$$

转差率

$$S=\frac{n_1-n}{n_1}$$

转子电路与转子的转速相关

$$f_2=sf_1$$

电磁转矩

$$T=K_T\phi_m I_2\cos\phi_2$$

额定转矩

$$T_N=9550\frac{P_N}{n_N}$$

起动转矩

$T_S/T_N$ 称为起动能力

最大转矩

$T_{max}/T_N$ 称为过载系数

名牌和额定值

功率，即 $P_N$

效率，$\eta=\frac{P_N}{P_{1N}}$

输入电功率，$P_{1N}=\sqrt{3}V_NI_N\cos\phi$

降压之后，起动转矩 $T_S'=\frac{V'}{V}^2T_S$