微积分复习

因为开学要考试所以不得不复习.jpg

常用

等价无穷小

导数公式

极限

数列极限

数列可以看成整变数的函数

定义：

$$\lim_{n\to\infty}x_n=a\iff \forall \epsilon>0,\exists N,当n>N时,有|x_n-a|<\epsilon$$

理解：

不管 $\epsilon$ 多么小，总会有 $|x_n-a|$ 比它小，所以在实际应用时可以限制 $\epsilon$ 的上界，但是不能限制它的下界。一般用 $\epsilon$ 来表示 $N$，说明不管 $\epsilon$ 怎么取，都有能找到一个 $N$。

数列收敛

如果数列收敛，那么数列的极限唯一

证明：

假设有 $\lim_{n\to\infty}x_n=a$ 且 $\lim_{n\to\infty}x_n=b$ 且 $a\neq b$

那么 $\forall\epsilon<0,\exists N_1$ 满足当 $N>N_1$ 时，$|x_n-a|<\frac{\epsilon}2$ ,对于 $b$ 同样存在这样的 $N_2$

$0\le|a-b|\le|x-a|+|x-b|\le\epsilon,\epsilon$ 是可以任意取的，所以 $a=b$

理解：

这里用 $\frac{\epsilon}2$ 的套路会比较常见，可以拆成两半然后每一半是 $\frac{\epsilon}2$，最后拼出来一个 $\epsilon$ 可以证明极限。

如果数列收敛，那么数列一定有界，反之不一定成立

数列收敛等价于任意子序列都收敛

函数极限

函数趋于无穷大的极限

定义：

$$\lim_{x\to\infty}f(x)=a\iff \forall \epsilon>0,\exists X 使得当x>|X|时，有|f(x)-A|<\epsilon$$

函数趋于特定值的极限

定义

$$\lim_{x\to x_0}f(x)=a\iff \forall \epsilon>0,\exists \delta 使得|x-x_0|< \delta 时,有|f(x)-A|<\epsilon$$

例：证明 $\lim_{x\to x_0}\sqrt{x}=\sqrt{x_0}$

这种证明需要使用定义，通过考虑 $|f(x)-A|$ 的值来确定 $\delta$ 的值。

$|\sqrt{x}-\sqrt{x_0}|=|\frac{x-x_0}{\sqrt{x}+\sqrt{x_0}}|\le\frac{1}{\sqrt{x_0}}|x-x_0|$

如果让 $|\sqrt{x}-\sqrt{x_0}|<\epsilon$，只需要让 $|x-x_0|<\epsilon\sqrt{x_0}$

故 $\delta$ 可以取 $\epsilon\sqrt{x_0}$，这里还有一个坑，当 $\epsilon$ 比较大的时候，$\delta$ 也会跟着变大，但是根据定义，我们考察的是 $x_0$ 的一个邻域 $[x_0-\delta,x_0+\delta]$，如果 $\delta$ 超过了 $x_0$ 会出现定义域溢出的情况，此时 $\epsilon>\sqrt{x_0}$ ，一种做法是限制 $\epsilon<\sqrt{x_0}$，限制上界我们是可以做到的，另一种做法是让 $\delta$和 $x_0$ 取最小值，这样的话也是成立的。

特定值极限存在的条件

两个单侧极限都存在并且都相等。

无穷小与无穷大

无穷小

定义：在某一变化过程中，以0为极限的变量称为无穷小量。

运算法则：

1. 无穷小与无穷小和差积都是无穷小
2. 无穷小和常数的乘积为无穷小
3. 有限个无穷小的和差积都是无穷小

高阶无穷小

同阶无穷小：若 $\lim \frac{\alpha}{\beta}=c\ne 0$，则称 $\alpha$ 和 $\beta$ 为同阶无穷小。

等价无穷小：若 $\lim \frac{\alpha}{\beta}=1$，则称 $\alpha$ 和 $\beta$ 为等价无穷小，记作 $\alpha \sim \beta$。

高阶无穷小：若 $\lim \frac{\alpha}{\beta}=0$，则称 $\alpha$ 是 $\beta$ 的高阶无穷小，记作 $\alpha=o(\beta)$。

$k$ 阶无穷小：若 $\lim \frac{\alpha}{\beta^k}=c$，则称 $\alpha$ 是 $\beta$ 的 $k$ 阶无穷小。

在求极限时等价无穷小可以互相替换，证明如下

设 $\gamma$ 是 $\alpha$ 的等价无穷小，那么 $\lim\frac{\alpha}{\beta}=\lim\frac{\alpha}\gamma\frac{\gamma}{\beta}=\lim\frac{\gamma}{\beta}$

无穷大

定义：在某一变化过程中，给定一个数，无论它多么大，该变量都比这个数大，称这个变量为无穷大量。

极限存在准则

连续函数在某一点的极限是在该点的函数值。

重要极限

$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$$

证明：

由 $\sin x<x<\tan x$，可得 $1<\frac{x}{\sin x}<\frac{1}{\cos x}$

由夹逼准则，可知原式极限为 $1$

$$\lim_{x\to \infty}(1+\frac{1}x)^x=e$$

证明：

有空再补（

大概过程是先由整数变量定义了自然对数底数 $e$ ，然后再证明小数的极限也是 $e$ 。

数列单调有界，则数列存在极限

该定理可以用于证明数列存在极限，之后可以设极限为未知量，然后通过已知关系代换得到极限。

函数的连续性

定义

$$\forall \epsilon>0,\exists \delta>0,当|x-x_0|<\delta时,有|f(x)-f(x_0)|<\epsilon$$

感性理解一下就是在这个点的时候函数有定义并且不断开。

函数的间断性

定义

有三种情况，没有定义，极限不存在，或者极限不等于函数值。

第一类间断点

可去间断点：函数在某点没定义，例如 $f(x)=\frac{\sin x}x$ 在 $x=0$ 的时候没定义，但是极限是 $1$，此时如果补充定义 $f(0)=1$，那么该函数连续，$x=0$ 称为可取间断点。

跳跃间断点：函数在某点断开了，即左右极限都存在但是不相等。

总结：两侧极限都存在的间断点。

第二类间断点

无穷间断点：顾名思义，极限为无穷。

震荡间断点：不存在极限，例如 $f(x)=\sin\frac{1}{x}$。

总结：两侧极限不都存在的间断点。

有界闭区间函数性质

零点定理

设函数 $f(x)$ 在有界闭区间 $[a,b]$ 上连续，如果 $f(a)\cdot f(b)<0$，则 $f(x)$ 在开区间 $(a,b)$ 内至少有一个零点。

介值定理

设函数 $f(x)$ 在有界闭区间 $[a,b]$ 上连续，如果 $f(a)=A,f(b)=B$，则 $f(x)=C\in(A,B)$ 在开区间 $(a,b)$ 上至少有一个解。

导数与微分

导数初步

切线的重新定义

割线的极限位置定义为切线。

导数定义

函数在某一个位置的瞬时变化率。

形式化的来讲，函数 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，导数记作 $f'(x)$

$$f'(x_0)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$

导数的写法有很多种，不过本质上都是 $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ 。

微分定义

函数在某一位置的瞬时变化值。

导数考察的是变化的快慢，而微分考虑的是变化的值。

微分记作 $\mathrm{d} y=A\Delta x$

微分与导数的联系

可微一定可导，可导一定可微

连续不一定可导，可导一定连续

导数和微分可以互相转化，$\mathrm{d}y=y'\mathrm{d}x$

微分和求导的法则

四则运算

微分和求导相似，这里只写求导。

$[u(x)+v(x)]'=u'(x)+v'(x)$

$[u(x)-v(x)]'=u'(x)-v'(x)$

$[u(x)v(x)]'=u(x)v'(x)+u'(x)v(x)$

$[\frac{u(x)}{v(x)}]'=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^2(x)}$

复合运算

$f'(g(x))=g'(x)f'(g(x))$

或者用链式法则，对其中每个函数分别求导。

高阶导数

主要涉及到莱布尼茨公式

$$(uv)^{(n)}=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}u^{(n-k)}v^k$$

隐函数求导

主要涉及到无法表示成 $y=f(x)$ 的形式的函数。

此时要考虑到 $y$ 是 $x$ 的函数，求导时要注意含有 $y$ 的复合函数求导。

参数方程求导

$$\begin{cases} x=\phi(t)\\ y=\Phi(t) \end{cases}$$

用参数代换一下就可以了

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}$$

微分方程

定义

含有未知函数的导数的方程称为微分方程。

未知函数是一元函数，称为常微分方程。

未知函数是多元函数，称为偏微分方程。

最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶。

可分离变量的微分方程

如果一个一阶微分方程可以写成

$$g(y)\mathrm{d}y=f(x)\mathrm{d}x$$

的形式，我们称之为可分离变量的微分方程，两侧同时积分求解。

齐次方程

我们称

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\varphi(\frac{y}x)$$

形式的方程为齐次方程，求解的时候利用换元。

令 $u=\frac{y}{x}$ ，有

$$u+x\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=\varphi(u)$$

移项后分离变量即可。

可化为齐次的方程

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{ax+by+c}{Ax+By+C}$$

当 $c=C$ 的时候是齐次的，否则不齐次。

不齐次的时候作变换，$X=x+h,Y=y+k$

$$\frac{\mathrm{d}Y}{\mathrm{d}X}=\frac{aX+bY+ah+bk+c}{AX+BY+Ah+Bk+C}$$

解方程组就可以得到 $h,k$ 的值

$$\begin{cases} ah+bk+c=0\\ Ah+Bk+C=0 \end{cases}$$

根据克拉默法则，该方程组有解的条件是

$$\begin{vmatrix} a\ \ \ \ b\\ A\ \ \ \ B \end{vmatrix} \ne0$$

当方程组无解时，有

$$\frac{a}{b}=\frac{A}{B}$$

此时

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{ax+by+c}{\lambda(ax+by)+C}$$

令 $v=(ax+by)$ 换元即可。

一阶线性微分方程

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+P(x)y=Q(x)$$

称为一阶线性微分方程。

我们首先求其通解，即

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+P(x)y=0$$

显然可得，解为

$$\begin{aligned} \ln|y|&=-\int P(x)\mathrm{d}x+C_1\\ y&=Ce^{-\int P(x)\mathrm{d}x} \end{aligned}$$

此时使用常数变异法求特解

$$y=u(x)e^{-\int P(x)\mathrm{d}x}$$

代入原方程可得

$$\begin{aligned} u'(x)e^{-\int P(x)\mathrm{d}x}-u(x)P(x)e^{-\int P(x)\mathrm{d}x}+P(x)u(x)e^{-\int P(x)\mathrm{d}x}&=Q(x)\\ u'(x)e^{-\int P(x)\mathrm{d}x}&=Q(x)\\ u(x)=\int Q(x)e^{\int P(x)\mathrm{d}x}\mathrm{d}x+C\\ y=u(x)e^{-\int P(x)\mathrm{d}x}=(\int Q(x)e^{\int P(x)\mathrm{d}x}\mathrm{d}x+C)e^{-\int P(x)\mathrm{d}x} \end{aligned}$$

这就是一阶线性微分方程的解法，注意这个公式没有必要记住，会推导就行，考场上利用常数变异法现算要比记公式简单，因为计算的过程中会消去很多量。

伯努利方程

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+P(x)y=Q(x)y^n$$

这个方程和一阶线性微分方程很相似，求解只需要把 $y^n$ 配凑进去即可，换元 $z=y^{1-n}$ 之后就是一阶线性微分方程。

可降阶的高阶微分方程

$$y^{(n)}=f(x)$$

积分 $n$ 次即可。

$$y''=f(x,y')$$

令 $p=y'$，之后就是一个关于 $p$ 的一阶微分方程了。

$$y''=f(y,y')$$

令 $y'=p$，再用复合函数求导转化 $y''=p\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y}$

常系数齐次线性微分方程

$$y''+py'+qy=0$$

由于指数函数求导后只相差常数，所以考虑用指数函数拟合 $y$。

$$\begin{aligned} y''+py'+qy&=0\\ r^2e^{rx}+rpe^{rx}+qe^{rx}&=0\\ r^2+pr+q&=0 \end{aligned}$$

对于最后这个方程，我们称之为，特征方程。

如果方程含有两个不等实根 $r_1 \ne r_2$，那么可以直接得到两个特解 $e^{r_1x},e^{r_2x}$。

如果有两个相等实根 $r_1=r_2$，那么用常数变异法可得特解 $e^{r_1x},xe^{r_1x}$。

如果有两个虚根，$\alpha+i\beta,\alpha-i\beta$，根据根的叠加原理，可以得到两个根分别为 $e^{\alpha x}\cos\beta x,e^{\alpha x}\sin\beta x$，所以通解为 $e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2e^{\alpha x}\sin\beta x)$。

对于更高阶的方程，我们采用多个特征根叠加的方式来解决。

特征方程的根	微分方程通解的对应
单实根 $r$	给出一项 $Ce^{rx}$
一对单复根 $r_{1,2}=\alpha \pm i\beta$	给出两项 $e^{\alpha x}(C_1\cos \beta x+C_2\sin \beta x)$
$k$ 重实根 $r$	给出 $k$ 项 $e^{rx}(C_1+C_2x+C_3x^2\dots+C_kx^{k-1})$
一对 $k$ 重复根 $r_{1,2}=\alpha \pm i\beta$	给出 $2k$ 项 $e^{\alpha x}(C_1\cos \beta x+C_2\sin \beta x\dots C_{2k-1}x^{k-1}\cos\beta x+C_{2k}x^{k-1}\sin \beta x)$

常系数非齐次线性微分方程

根据叠加原理，解此类方程只需要求出特解，然后和通解叠加即可。

这里只给出结论

$f(x)=e^{\lambda x}P_m(x)$ 类型的，有特解 $y*=x^kQ_m(x)e^{\lambda x}$ 。

$f(x)=e^{\lambda x}(P_l(x)\cos{\omega x}+P_n(x)\sin\omega x)$ 类型的，有特解 $y*=x^k(R_m^{(1)}\cos \omega x+R_m^{(2)}\sin \omega x)e^{\lambda x}$

其中 $k$ 是特征根 $\lambda$ 的重数。

欧拉方程

$$x^ny^{(n)}+p_1x^{n-1}y^{(n-1)}+\dots+p_{n-1}xy'+p_ny=f(x)$$

进行换元 $x=e^t$ 可以得到

$$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}=\frac{1}x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\\ \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}&=\frac{1}{x^2}(\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}t^2}-\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}) \end{aligned}$$

如果用 $D$ 表示 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$，即微分算符

有

$$x^n\frac{\mathrm{d}^ny}{\mathrm{d}x^n}=\frac{D!}{(D-n)!}y$$

再将上述式子展开，即可得到一个常系数微分方程。

微分中值定理

罗尔定理

如果 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 连续，$(a,b)$ 可导且 $f(a)=f(b)$ ，那么存在一点 $\xi\in(a,b)$ 使得 $f'(\xi)=0$ 。

拉格朗日中值定理

如果 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 连续，$(a,b)$ 可导 ，那么存在一点 $\xi\in(a,b)$ 使得 $f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ 。

柯西中值定理

如果 $f(x),g(x)$ 在 $[a,b]$ 连续，$(a,b)$ 可导且 $g(x)\ne 0$ ，那么存在一点 $\xi\in(a,b)$ 使得 $\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$ 。

洛必达法则

对于 $\frac{0}{0}$ 和 $\frac{\infty}{\infty}$ 的未定式，有

$$\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(x)}{g'(x)}$$

对于 $\frac{0}{0}$，证明可用柯西中值定理

$$\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}=\lim_{\xi\to a}\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}=\frac{f'(a)}{g'(a)}$$

泰勒公式

泰勒展开是用多项式来拟合函数，通过不断求导的方式。

$$f(x)=\sum_{i=0}^{+\infty} \frac{f^{(i)}(x_0)(x-x_0)^i}{i!}$$

一般情况下我们不会写出所有的项，只会保留前几项，对于剩下的余项，有两种写法。

皮亚诺余项 $R_n(x)=o(x-x_0)^n$

拉格朗日余项 $R_n=\frac{f'(n+1)(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1},\xi\in [x,x_0]$

曲线

曲线的凹凸性

$$f(\frac{x_1+x_2}{2})<\frac{f(x_1)+f(x_2)}2$$

则称函数在此区间上向上凹

判断方法为 $f''(x)>0$

曲线的拐点

当经过一个点时，曲线的凹凸性改变，称经过了曲线的拐点

有定义可知拐点满足 $f''(x_0)=0$

驻点

$f'(x_0)=0$ 的点

函数的极值点

略

函数渐近线

垂直渐近线和水平渐近线单独考虑，对于一般的渐近线，有

$$\lim_{x\to+\infty}(f(x)-ax-b)=0\\ \lim_{x\to+\infty}(\frac{f(x)}{x}-x-\frac{b}{x})=0\\ \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=a\\ \lim_{x\to+\infty}(f(x)-ax)=b$$

函数的描绘

1. 确定定义域
2. 判断奇偶性、周期性
3. 求出所有驻点
4. 求出所有拐点
5. 求出渐近线
6. 列表
7. 作图

曲率

定义

判断曲线的弯曲程度，用 $\frac{\tt{夹角}}{\tt{弧长}}$ 来刻画。

计算

$$K=\frac{\varphi}{s}=\frac{\Delta \theta}{s}=\frac{|y''|}{(1+y'^2)^{\frac{3}{2}}}$$

曲率半径

$$\rho=\frac{1}{K}$$

在某一点处曲率圆的半径。

曲线长

$$s=\int_{a}^{b}\sqrt{1+y'^2}\mathrm{d}x$$

积分

定积分

定义

设 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上有若干分点

$$a=x_0\le x_1\le x_2\dots\le x_{n-1}\le x_{n}=b$$

记 $\Delta x_i=x_i-x_{i-1},\lambda=\max\{\Delta x_i\}$

$$I=\lim_{\lambda\to 0}\sum_{i=1}^nf(x_i)\Delta x_i=\int_a^bf(x)\mathrm{d}x$$

注意到无论如何取分点，当 $\lambda\to 0$ 的时候，$I$ 的值固定不变，我们称之为积分和，也叫黎曼和。

为了便于计算，一般分点都是取等分点。

有一些性质如果需要证明的话用定义去证明比较好证，因为定义把积分拆成了可以求和的形式。

定积分中值定理

若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则至少有一点 $\xi\in [a,b]$，使得

$$\int_a^bf(x)\mathrm{d}x=f(\xi)(b-a)$$

微积分基本公式

定义 $f(x)$ 的原函数 $F(x)$ 满足条件 $F'(x)=f(x)$

有 $\int_a^b=F(b)-F(a)$，这个式子称为牛顿-莱布尼茨公式，也是微积分基本公式。

不定积分

定义

上面提到了一个函数的原函数定义，而不定积分就是用来求函数的原函数。

我们将 $f(x)$ 的全体原函数 $F(x)$ 记作 $f(x)$ 的不定积分。

$$\int f(x)=F(x)+C$$

基本积分表

参考开头的导数表。

换元积分

第一类换元积分法

也叫凑微分法，本质是整体代换，改变微分的变量。

$$\int f(\varphi(x))\varphi'(x) \mathrm{d}x=\int f(\varphi)\mathrm{d}\varphi(x)=[\int f(u)\mathrm{d}u]_{u=\varphi(x)}$$

第二类换元积分法

利用反函数进行代换。

$$\int f(x) \mathrm{d}x=[\int f(\phi(t))\phi'(t)\mathrm{d}x]_{x=\phi(t)}$$

利用换元进行等式的证明

证明

$$\int_{0}^\pi xf(\sin x)\mathrm{d}x=\frac{\pi}2\int_{0}^\pi f(\sin x)\mathrm{d}x$$

$$\begin{aligned} \int_{0}^\pi xf(\sin x)\mathrm{d}x & = \int_{\pi}^0 (\pi-t)f(\sin (\pi-t))\mathrm{d}{(\pi-t)} \\ & = \int_{0}^{\pi}\pi f(\sin t)\mathrm{d}t-\int_{0}^{\pi}tf(\sin t)\mathrm{d}t\\& =\int_{0}^{\pi}\pi f(\sin x)\mathrm{d}x-\int_{0}^{\pi}xf(\sin x)\mathrm{d}x \end{aligned}$$

然后移项一下就得到了，

这里的证明主要是通过换元得到一个和原来形式相同的式子，而积分变量是可以随意替换的，所以两个式子等价。

这个式子的证明告诉我们，如果积分区间是 $[0,\pi]$ ，并且含有 $x$，可以直接把 $x$ 去掉用 $\frac{\pi}2$ 来代替。

证明

$$\int_{a}^{a+T}f(x)\mathrm{d}x=\int_{0}^Tf(x)\mathrm{d}x$$

$$\begin{aligned} \int_{a}^{a+T}f(x)\mathrm{d}x & = \int_{a}^{0}f(x)\mathrm{d}x+\int_{0}^{T}f(x)\mathrm{d}x+\int_{T}^{a+T}f(x)\mathrm{d}x\\&=\int_{a}^{0}f(x)\mathrm{d}x+\int_{0}^{T}f(x)\mathrm{d}x+\int_{0}^{a}f(x)\mathrm{d}x\\&= \int_{0}^{T}f(x)\mathrm{d}x \end{aligned}$$

这个证明是一个显然的结论，不过具体的过程书写下来还是有些地方不太清楚，这种证明可以把原积分式子拆掉，然后证明一些余项加起来是 $0$。

分部积分

定义

$$(uv)'=u'v+uv'\\ u'v=(uv)'-uv'\\ \int u'v=uv-\int uv'\\ \int v\mathrm{d}u=uv-\int u\mathrm{d}v$$

重要推论

$$\begin{aligned} I_n &= \int_{0}^{\frac{\pi}2}sin^nx\mathrm{d}x=\int_{0}^{\frac{\pi}2}cos^nx\mathrm{d}x\\ &=\begin{cases} \frac{n-1}n \cdot\frac{n-3}{n-2}\dots\frac{3}4\frac{1}2\frac{\pi}2, n为偶数\\ \frac{n-1}n \cdot\frac{n-3}{n-2}\dots\frac{4}5\frac{2}3, n为奇数 \end{cases} \end{aligned}$$

证明是直接分部积分即可。

有理函数的积分

定义

两个多项式的商 $\frac{P(x)}{Q(x)}$，称为有理分式，下面证明这种分式一定可积。

拆分

通过多项式除法可以将上述分式拆分成多项式和一个真分式的和，多项式的积分是容易求得的，只考虑真分式如何积分。

对于 $\frac{P(x)}{Q(x)}$，对 $Q(x)$ 在实数范围内进行因式分解，最后得到的式子只有两种类型，$(x-a)^k$ 和 $(x^2+px+q)^l$。

对于 $(x-a)^k$ 进行拆分，可以拆成 $k$ 个分式的和

$$\frac{A_1}{(x-a)}+\frac{A_2}{(x-a)^2}+\dots+\frac{A_3}{(x-a)^{k-1}}+\frac{A_2}{(x-a)^k}$$

对于 $(x^2+px+q)^l$ 进行拆分，可以拆分成 $l$ 个分式的和

$$\frac{M_1x+N_1}{(x^2+px+q)}+\frac{M_2x+N_2}{(x^2+px+q)^2}+\dots+\frac{M_{l-1}x+N_{l-1}}{(x^2+px+q)^{l-1}}+\frac{M_lx+N_l}{(x^2+px+q)^l}$$

于是只要解决上述分式的积分，就能够完成对有理函数的积分

积分

首先解决第一种类型的，这个比较好解决

$$\int \frac{A_k}{(x-a)^k}\mathrm{d}x=A_k\int \frac{\mathrm{d}(x-a)}{(x-a)^k}=\frac{A_k}{1-k}(x-a)^{1-k}$$

然后是第二种类型的积分

$$\int\frac{M_1x+N_1}{(x^2+px+q)}\mathrm{d}x$$

先解决分子中的一次项，只需要配凑一下常数，用第一类换元积分即可。

对于常数项，配凑成 $\frac{1}{x^2+1}$ 的形式然后积分即可。

注意如果 $l>1$ ,则需要使用分部积分进行降幂。

因为里面含有两项 $x$，所以考虑通过配方转化为一项，这样的好处是简化运算，并且微分变量不变。

即，令 $u=x+\frac{p}2,v=q-\frac{p^2}4$

$$\begin{aligned} \int\frac{\mathrm{d}x}{(x^2+px+q)^l}&=\int{\frac{\mathrm{d}u}{(u^2+v)^l}}\\ &=\frac{u}{(u^2+v)^l}-\int u\mathrm{d}\frac{1}{(u^2+v)^l}\\ &=\frac{u}{(u^2+v)^l}+\int \frac{2u^2l}{(u^2+v)^{l+1}}\mathrm{d}u\\ &=\frac{u}{(u^2+v)^l}+2l\int\frac{1}{(u^2+v)^l}\mathrm{d}u-2lv\int\frac{1}{(u^2+v)^{l+1}}\mathrm{d}u\\ \int \frac{1}{(u^2+v)^{l+1}}\mathrm{d}u&=\frac{1}{2lv}[\frac{u}{(u^2+v)^l}+(2l-1)\int\frac{1}{(u^2+v)^{l}}\mathrm{d}u] \end{aligned}$$

如此再往回代换即可。

可化为有理函数的积分

如果是三角函数的积分，可以使用万能公式进行代换

如果是根式，可以直接换元然后升幂

如果分母次幂比较大，可以进行倒代换

反常积分

无穷限上的反常积分

$$\int_{a}^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x=\lim_{t\to+\infty}\int_{a}^{t}f(x)\mathrm{d}x$$

若该极限存在，则说明反常积分存在，也称收敛，否则不存在，也称发散。

易错，$\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{x}\mathrm{d}x=0$

这个反常积分并不存在。

你只会思考它的值是多少，而并不关注它是否存在

无界函数的反常积分

和上面一样，只是由无穷改为了某个数。